The Cauchy-Riemann equation on non-reduced spaces and global representation of intersection numbers

Teorin för geometri går tillbaks till antiken, och längre än så, men först på 1600-talet infördes systematisk representation av geometriska objekt, s.k., varieteter, såsom linjer, kurvor, plan etc, som lösningar till olika ekvationer. T ex kan en cirkel i planet representeras som mängden av alla punkter (x,y) i planet sådana att ett visst polynom p(x,y) av två variabler får värdet noll. Detta visade sig vara mycket fruktbart och öppnade vägen för den matematiska analysen som grundlades genom arbeten av Newton, Leibniz m fl, och som är oumbärlig för nästan all modern naturvetenskap. Det visar sig mycket fruktbart att gå ett steg längre och representera varieteten, t ex cirkeln i exemplet ovan, med alla polynom som tar värdet noll på varieteten. Man får på detta sätt ett s k ideal av polynom som då representerar varieteten. Ett ideal av detta slag kallas reducerat, och det geometriska objektet kallas en reducerad varietet. Å andra sidan finns det ideal av polynom som inte direkt svarar mot ett geometriskt objekt på detta sätt. Då säger man att idealet representerar ett generaliserat geometriskt objekt, en s k icke-reducerad varietet. Denna växelverkan mellan geometriska objekt och algebraiska objekt är grunden för algebraisk geometri. Det finns ett viktigt begrepp, s k strömmar, i den matematisk analysen som kan ses som en slags generaliserade funktioner. Det finns t ex en ström som är noll utom på cirkeln och med egenskapen att om man multiplicerar den med ett polynom så får man noll precis bara om polynomet är noll på cirkeln. I ett tidigare projekt har vi visat att det till varje ideal, dvs varje icke-reducerad varietet, finns en ström sådan att ett polynom ligger i idealet om och endast om produkten av polynomet och strömmen är noll. Av detta skäl kan vi alltså säga att även denna ström representerar idealet, eller om man så vill, (den eventuellt icke-reducerade) varieteten. En reducerad varietet som cirkeln sägs vara glatt, för om man tittar på den med ett starkt förstoringsglas nära en viss punkt så ser den ut som en bit av en linje. Om man däremot tittar på lösningen till ekvationen x^3-y^2=0 nära punkten (0,0) så ser den inte alls ut som en linje, hur mycket man än förstorar upp. Man säger att denna varietet har en singularitet i punkten (0,0). Om det finns singulära punkter säger man att varieteten är singulär. Ibland är det lämpligt att betrakta varieteten utan att behöva tänka på att den är en delmängd av något större, och då talar man om ett analytiskt rum. Detta analytiska rum kan då vara singulärt, reducerad, icke-reducerat, etc. En del av projektet består i att studera en viss typ av partiell differentialekvation, Cauchy-Riemanns ekvation (eller lite mer vardagligt, dbar-ekvationen), på ett (eventuellt ickereducerat) analytiskt rum. Ekvationen är av fundamental betydelse för komplex analys på glatta rum. På senare år har man börjat studera den på reducerade icke-glatta rum, och i detta projekt avser vi att gå ett steg längre och studera det ickereducerade fallet. Vårt angreppssätt bygger på att vi först utvecklar en teori för strömmar på analytiska rum, och sedan använder denna för att formulera och lösa dbar-ekvationen. En annan del av projektet handlar om lokala snitt-tal. Om man har två delvarieteter så kan man till varje punkt där de skär varandra definiera en uppsättning tal, de lokala snitt-talen, som beskriver på hur komplicerat sätt varieteterna skär varandra. I allmänhet finns ingen global varietet som i varje punkt representerar de lokala snitt-talen på ett meningsfullt sätt. Syftet med projektet är hitta en slags generaliserade varieteter som har denna egenskap.

Participants

Mats Andersson (contact)

Professor vid Chalmers, Mathematical Sciences, Algebra and geometry

Funding

Swedish Research Council (VR)

Funding years 2015–2018

More information

Latest update

2015-12-13