Radon transform. Harmonic and Complex Analysis on symmetric spaces. Representations of Lie groups.

Research Project, 2010 – 2012

Sökandet efter symmetrier inom fysik har varit ett centralt tema inom fundamentalfysik. Det har lett till upptäckten av många elementära partiklar. Matematiskt formuleras symmetrier med hjälp av begreppet grupp. Kontinuerliga grupper kallas också Liegrupper. Dessa grupper verkar på klassiska variabler som positioner, hastigheter etc. Man studerar sedan verkan av grupper på rummet av kvantmekansiska variabler som till exempel tillstånd och energi. I harmonisk analys och representationsteori försöker man hitta och studera Liegruppers verkan. Ett av relaterade ämnen som jag studerar är Radontransform på symmetriska rum. Randontransformen för en funktion (som i praktiken beskriver tryck, densiteter eller andra kvantiteter hos en kropp) är integraler av funktionen längs linjer eller plan. Radontransformen har varit och är fortfarande av stort intresse inom medicinska vetenskaper (röntgenteknik) och seismologi. En av huvudfrågorna är att invertera transformen, dvs att bestämma okända tryck- eller densitetfunktioner mha röntgenmätningarna. Radontransform tillhör också det mycket aktiva forskningsfältet om inversproblem. Begreppet symmetriskt rum kan förklaras som en geometrisk mångfald med många symmetrier, och en Liegrupp kan betraktras som transformationer på mångfalden. Enhetscirkeln i det komplexa planet är det enklaste exemplet på ett symmetrikt rum. Alla rotationer bildar då en Liegrupp. Harmonisk analys på enhetscirkeln ges av Fourierserier, som idag har fått sina tillämpningar i många tekniska ämnen, till ex. signal- och bildbehandling. Fourierserier kan formuleras med hjälp av representationer av rotationsgruppen. I själva verket kan symmetrier vara svåra att upptäcka till ex. i partikelfysik. Man studerar då deras verkan, dvs deras representationer, på tillstånd som är manifestationer av symmetrier. Ett av våra huvudproblem är att studera uppdelningar av representationer av en grupp under en delgrupp. I partikelfysik kallas en sådan uppdelning symmetribrott. (Nobelpriset i fysik år 2008 gick till teorin om symmetribrott.) På enhetsskivan bildar Bergmanrummen (med vikt) av holomorfa funktioner unitära och holomorfa representationer av Möbiusgruppen. Alla representationer av Möbiusgruppen finns som komponenter i tensorprodukterna, dvs man hittar represenationer med hjälp av uppdelningar. Vi får därmed också en så kallad kvantisering av representationer som operatorer på holomorfa rum, eftersom tensorprodukten består av Hilbert-Schmidt-operatorer. Kvantisering i matematisk fysik innebär att man studerar viss korrespondens mellan klassiska observabler (som positioner och hastighet) och kvantmekaniska motsvarande (som operatorer på tillstånd). Jag studerar uppdelningar av representationer och kvantisering med hjälp av analytiska methoder som integral- och differentialoperatorer. I praktiken är många okända funktioner (till ex. tryck eller densiteter) definierade på en skiva eller ett klot, dvs ett symmetriskt rum. Därför är Radontransform på symmetriska rum intressant och har många tillämpningar. Jag studerar inversproblemet för Radontransform.