Multimesh space-time finite element methods

Research Project, 2015 – 2018

Inom naturvetenskapen formuleras alltmer precisa modeller av vårt universum. I mer än 100 år har dessa modeller mycket framgångsrikt formulerats som partiella differentialekvationer. Klassiska exempel på fundamentala partiella differentialekvationer som beskriver vårt universum är Schrödingerekvationen för kvantmekaniken, Einsteins ekvationer för relatitivetsteorin och Navier-Stokes ekvationer för strömningsmekaniken. Dessa ekvationer kan alla, med viss möda, lösas med sofistikerade metoder som bygger på matematisk analys i kombination med datorberäkningar. Grunden i sådana beräkningsmetoder är att beräkningsområdet delas in i ett stort antal (miljoner, miljarder) diskreta element, så kallade finita element, som tillsammans bildar ett beräkningsnät. På varje litet element kan en komplicerad partiell differentialekvation skrivas som en relativt enkel algebraisk ekvation. Lösningen kan därefter beräknas av ett datorprogram som samtidigt löser alla de enkla ekvationerna. Ofta kan inte ett fysikaliskt problem beskrivas av en enda ekvation, utan flera olika modeller måste användas för att beskriva olika delar av ett system. Ett typexempel är ett system som består av en rörlig elastisk komponent som rör sig genom en vätska. Sådana problem har både industriella och medicinska tillämpningar, exempelvis för simulering av fartygspropellrar eller för simulering av blodflödet genom en hjärtklaff som öppnar och stänger. Sådana multifysikproblem är ofta svåra att simulera, eftersom systemets rörliga delar gör att indelningen av rummet i små element hela tiden måste uppdateras eller göras om. En lösning på detta problem är att göra en separat och oberoende indelning av rummet för varje enskilt delsystem. Med en sådan indelning kommer beräkningsnätet för en roterande propeller att skära igenom ett bakomliggande beräkningsnät för vätskan som flödar runt propellern. Utmaningen består då i att formulera en matematisk metod för lösning av partiella differentialekvationer på skurna nät och att effektivt kunna beräkna och beskriva den komplicerade skärningen mellan olika beräkningsnät. I detta projekt utvecklar vi en ny generell lösningsmetod för tidsberoende multifysikproblem. Metoden bygger på en fullständig rumtidsdiskretisering på skurna nät, där varje delsystem beskrivs på ett individuellt tidsberoende beräkningsnät. Viktiga problemställningar är stabilitet och konvergens för de matematiska metoderna, utveckling av effektiva och generella datorprogram för simulering av multifysikproblem på parallelldatorer, samt tillämpning av metodiken på ett antal testproblem av industriell, medicinsk och vetenskaplig relevans, bland annat kaviterande propellerflöde och hjärtklaffsdynamik.

Participants

Funding

More information

Latest update