Noise sensitivity, phrase transitions and interacting particle systems

Research Project, 2010 – 2012

Det finns många statistiska mekaniska system där bara en liten mängd av brus överallt kan ha en enorm påverkan på det stora systemet. Resultatet blir då väldigt intressant. Ett viktigt system där det förekommer är perkolation, som är klart det enklaste systemet inom statistisk mekanik som bland annat undergår en fasövergång. En fasövergång betyder att det finns en parameter i systemet sådan att det globala beeteendet av systemet förändras mycket snabbt när parametern når ett viss värde, till exempel när vattnet övergår till ånga. Den matematiska analysen av känsligheten av brus är ganska komplicerad. I samband med perkolation, kommer man in i Fourieranalys, konformalinvarians och så kallad hyperkontraktivitet. Ett mål i projektet är att få en bättre förståelse för bruskänsligheten, både när man ändrar definitionen av "liten mängd av brus" och när man studerar system med viss beroende mellan komponenterna. Ett exempel av ett sådant system med beroende är Isingmodellen, som introducerades av E. Ising år 1925 som en model för spontanmagnetism och som var den första modellen som uppvisade fasövergång. Partikelsystem är ett specialområde inom sannolikhetsteori inriktat på att förklara hur fysikaliska fenomen kan förstås i termer av samverkan hos ett mycket stort antal partiklar. När man ska modellera dessa ideer matematiskt, så kommer man in på Markovfält, Markovkedjor och ergodteori. Det är av intresse att förstå mer exakt hur ändringar i de lokala reglerna påverker det globala systemets struktur. En av de föreslagna projekt handlar precis om denna fråga. Området som helhet är väldigt spännande för att det kombinerar intressanta fysikaliska fenomen med modern sannolikhetsteori.