Critical values and correlation inequalities in dependent percolation models

Research Project, 2011

Ett av de stora målen i sannolikhetsteori är att förstå och beskriva det globala beteendet hos slumpmässiga system som består av många "mikroskopiska" variabler. Ett viktigt sådant system är den så kallade perkolationsmodellen, som intresserat både matematiker och fysiker. I denna modell, färgas noderna i en oändlig graf (till exempel rutorna på ett schackbräde) oberoende av varandra; rött med en viss sannolikhet r och annars vitt, varpå man studerar olika globala egenskaper. En central egenskap hos denna modell är att den har en fasövergång. Det betyder att det, då man varierar r, finns ett kritiskt värde R sådant att systemet beter sig fundamentalt olika i faserna rR. Sådana fenomen (med två fasövergångar) kan man till exempel observera hos vatten då man varierar temperaturen. Det finns dock många situationer där antagandet om oberoende inte är realistiskt. Till exempel, när man modellerar en ferromagnet, bör närliggande partiklar i modellen tendera att vara likriktade, och därmed inte ha oberoende spinn. I detta projekt studerar vi två beroende perkolationsmodeller, som kallas "dela och färga" (divide and colour - DaC) och slumpkluster (random cluster), som på ett naturligt sätt innehåller beroende mellan partiklar. Den enklaste versionen av DaC har två parametrar: en kantparameter p, som avgör hur starkt olika noder påverkar varandra (och kan relateras till temperaturen i en fysikalisk tolkning), och en färgparameter r. Det är känt att för varje värde av p, finns en fasövergång då man varierar r. Det är däremot inte känt exakt var övergången sker. Att bestämma det kritiska värdet exakt kan vara omöjligt för varje givet p, men det betyder inte att vi inte kan säga någonting; datorsimuleringar antyder att det kritiska värdet minskar då p ökar, och närmar sig 1/2 då p går mot 1/2 nedifrån. Vårt första delprojekt är att se om detta är sant med rigorösa matematiska metoder, och framför allt att förstå anledningen till detta beteende. Vårt andra delprojekt är att undersöka korrelationen hos mer allmänna DaC-modeller, det vill säga hur olika händelser påverkar sannolikheten för andra händelser. Detta är särskilt intressant för så kallat växande händelser. En händelse E är växande om följande gäller: om E inträffar för en given färgläggning, och vi sedan färgar ytterligare noder röda, så inträffar E även i den nya konfigurationen. Ett typexempel på en växande händelse är "minst en av v och w är röd", då v och w är två givna noder. Man förmodar att två växande händelser alltid är positivt korrelerade i denna modell, vilket betyder att om en viss sådan händelse inträffar så är varje annan sådan händelse mer sannolik än annars. Detta har emellertid bara visats för vissa parametervärden; vårt mål är att visa det för samtliga möjliga parametervärden i modellen. Vårt tredje delprojekt, slutligen, handlar om korrelationsegenskaper hos slumpklustermodellen. Även här förstår man dessa egenskaper väl för de flesta, men inte för alla, parametervärden. Man vet att växande händelser är positivt korrelerade då en viss parameter q är minst ett, och man förmodar att de är negativt korrelerade då q<1. Att bevisa denna förmodan är ett stort öppet problem för slumpklustermodellen, och ett bevis skulle förbättra förståelsen för modellen avsevärt. De tre projekt som beskrivits ovan handlar alla om beroende perkolationsmodeller, som är mer realistiska och lämpade för tillämpningar än oberoende perkolation. Det kanske viktigaste problemet i perkolationsteori är att förstå fasövergångarna i modellen, och I synnerhet hur det kritiska värdet beror på övriga parametrar. Det första delprojektet vi föreslår skulle avgöra denna fråga i en av de mest naturliga beroende perkolationsmodellerna. Att studera beroende perkolation är en viktig och svår uppgift, och ett av de viktigaste redskapen i detta fält är korrelationsolikheter. Därför skulle varje resultat på vårt andra och tredje delprojekt vara till enorm hjälp vid vidare studier av de aktuella modellerna.