Komprimerad avkänning med hjälp av kodningsteori
Forskningsprojekt, 2012
– 2015
Rekonstruktionen av ett (matematisk) objekt från en partiell uppsättning observationer på ett effektivt och tillförlitligt sätt är av avgörande betydelse i vår vardag. I ett kommunikationssystem är objektet ofta en ström av information som överförs från punkt A för att rekonstrueras på punkt B (t.ex. rösten i ett mobilsamtal). I magnetisk resonanstomografi (MRT), en teknik för att visualisera strukturer i inuti kroppen, registeras sampel för att senare generera en bild av det avskannade kroppsdelen. Det berömda Nyquist-Shannon samplingsteoremet, ett grundläggande resultat inom signalbehandling och informationsteorin, anger att antalet sampel som krävs för att rekonstruera en signal utan fel är beroende av signalens bandbredd. I korthet säger samplingsteoremet att samplingsfrekvensen måste vara minst två gånger signalens bandbredd, vilket innebär att ett stort antal sampel måste registreras för många signaltyper. Konventionella samplingsmetoder (t.ex. för att sampla och rekonstruera en digital bild) följer denna grundläggande princip. I många tillämpningar, som medicinsk bildbehandling, är det mycket dyrt att öka samplingshastigheten. I detta fall finns det en annan stor nackdel: det skanningstiden är ofta proportionell till antalet sampel. En ökad skanningstid innebär ett antal praktiska utmaningar, bland annat en högre känslighet för fysiologiska artefakter, minskad klinisk genomströmning, och ett ökat obehag för patienten. I andra tillämpningar, som digital fotografering, genereras en stor mängd data men relativt lite information. Ett exempel är en digital bild som tas med en digitalkamera. Datainsamling fasen är massiv: n sampel--som i sig kräver n fotodetektorer?samlas in för en bild n-pixels upplösning, dvs miljontals sampel för en vanlig standardkamera! Det visar sig dock att de flesta av samplen kan tas bort med nästan ingen perceptuell förlust. Detta är principen för moderna digitalkameror: efter den massiva samplingsfasen komprimeras bilden kraftigt med den välkända JPEG-komprimeringen och den komprimerade bilden kan lagras med endast en liten förlust i bildkvalitet. Den strategi som består av en massiv datainsamling följt av en kompressionfas förefaller vara ett enormt slöseri. Forskare har därför ställt sig följande fråga: Är det möjligt att rekonstruera en signal eller en bild exakt från ett mycket färre antal sampel än vad samplingsteoremet kräver? En ny teknik, kallat compressed sensing (CS), ger, under vissa förutsättningar, ger ett positivt svar på denna fråga. Grundtanken är att utnyttja det faktum att många verkliga signaler är glesa eller komprimerbara, i meningen att de innehåller många koefficienter nära eller lika med noll, då representerade i en lämplig bas. Dessa signaler kan återskapas från betydligt färre sampel jämfört med konventionell sampling: Det är inte nödvändigt att investera mycket möda på att observera sampel av en gles signal i alla koordinater när de flesta av dem har liten eller ingen information. CS använder ett fåtal icke-adaptiva linjära projektioner som bevarar strukturen av signalen och signalen kan sen rekonstrueras från dessa projektioner med hjälp av en optimeringsalgoritm. Dessa banbrytande resultat har stimulerat en stor mängd forskning inom CS-området. Hittills har huvuddelen av forskningen drivits med metoder från områdena signalbehandling, statistik och datavetenskap. Det har dock visat sig att CS har starka band till kodnings- och informationteori. Även om sambanden mellan kodning och CS har nyligen studerats återstår mycket arbete. Detta projekt kommer att göra grundläggande bidrag till CS-teorin genom att utnyttja länkarna till kodnings- och informationteori för att behandla viktiga, men olösta frågor, om förekomsten av a) strikta gränser för antal sampel för att återskapa signaler i närvaro av brus, b) lågkomplexitets algoritmer för CS-rekonstruktion, samt c) små praktiska mätmatriser som stöder sådana system. Att lösa dessa frågor är avgörande för att skörda de potentiella vinsterna som utlovas av CS i praktiken och kommer att ha en betydande inverkan på tillämpningar som medicinsk bildbehandling, digital fotografi, sensornät och seismologi.
Deltagare
Alexandre Graell i Amat (kontakt)
Chalmers, Elektroteknik, Kommunikation, Antenner och Optiska Nätverk
Finansiering
Vetenskapsrådet (VR)
Projekt-id: 2011-5961
Finansierar Chalmers deltagande under 2012–2015