Residyströmmar i komplex och algebraisk geometri

Forskningsprojekt, 2013 – 2016

Residyströmmar i komplex och algebraisk geometri Geometri är klassisk gren av matematiken med rötter i antiken. Under 1600-talet inleddes ett mer systematiskt studium av geometri i och med att man började betrakta geometriska objekt som lösningar till ekvationer. Till exempel kan en cirkel beskrivas såsom den mängd av punkter (x,y) i planet som uppfyller att polynomet x^2+y^2-1 är noll. Geometriska objekt som på detta sätt kan beskrivas som nollställen till polynom kallas varieteter. Med detta nya synsätt kunde studiet av geometrin till stor del överföras till studiet av ekvationer och polynom, vilket banade väg för en mängd nya tekniker. Mer allmänt kan man låta cirkeln representeras av mängden av alla polynom som är noll på cirkeln; en sådan mängd av polynom kallas ett ideal. Denna idé är grunden för algebraisk geometri där ideal studeras snarare än rent geometriska objekt. Min forskning handlar om studera varieteter och ideal med hjälp av så kallade strömmar, som är en slags generaliserade funktioner. Ett exempel är Diracs deltafunktion, som har massan ett koncentrerad till origo, men är noll i övrigt. I många avseenden får man räkna med strömmar som med vanliga funktioner. Multipliceras deltafunktionen med en funktion f erhålls en ström vars massa i origo är värdet av f i origo. Speciellt är produkten noll precis om f är noll i origo. Man säger då att f annihilerar deltafunktionen. Mängden av alla polynom som annihilerar en ström är ett ideal, dess så kallade annihilatorideal. Deltafunktionens annihilatorideal är precis de polynom som är noll i origo. På så sätt representerar deltafunktionen idealet av polynom som är noll i origo eller om man så vill det gevarieteten origo. Deltafunktionen är ett enkelt exempel på en så kallad residyström. Residyer introducerades av Cauchy i början av 1800-talet och har sedan dess visat sig vara ett kraftfullt verktyg inom många problem i analys, algebra och geometri. Till exempel har residyströmmar (som är en slags generaliserade residyer) använts för att ge explicita lösningar till så kallade divisionsproblem, vilka är grundläggande problem inom kommutativ algebra och handlar om att avgöra om ett visst polynom ligger i ett givet ideal. Den centrala idén är att ett visst ideal eller geometriskt objekt kan representeras som annihilatoridealet till en residyström, på samma sätt som origo ovan representerades av deltafunktionen. Det övergripande målet med mitt projekt är att utveckla nya metoder och finna nya tillämpningar för residyströmmar och därmed också få en djupare förståelse av dem. Jag är speciellt intresserad av hur vissa egenskaper hos varieteter eller ideal avspeglas i de motsvarande residyströmmarna. Ett delprojekt handlar om att förstå ett nytt samband mellan residyströmmar och varieteter (eller mer allmänt fundamentalcykler) av ideal. Ett annat delprojekt handlar om att förstå skärningar av varieteter i termer av strömmar. Som bekant skär två icke-parallella linjer i planet varandra i en punkt, man säger då att de skär propert. I strömspråk kan man uttrycka detta som en produkt av strömmar. Om man gångrar residyströmmarna som hör ihop med linjerna får men en deltafunktion i skärningspunkten. Om linjerna inte skär propert utan till exempel sammanfaller är det inte lika klart vad skärningen skall betyda. Skall skärningen kanske vara linjen själv? Ofta är det fördelaktigt att tänka på skärningen som något av ``rätt´´ dimension och därför låta skärningen av linjen med sig själv vara en godtycklig punkt på linjen. I allmänhet är det inte heller möjligt att multiplicera strömmar. Till exempel kan man inte gångra residyströmmen av linjen, eller deltafunktionen, med sig själv, i alla fall inte utan att göra avkall på egenskaper man normalt kräver av en multiplikation. Ett mål med delprojektet är att utveckla en kalkyl för strömmar som gör det möjligt att uttrycka ickepropra snitt som produkter av strömmar. Ett tredje delprojekt är relaterat till att lösa en viss partiell differentialekvation, Cauchy-Riemann- eller d-streck-ekvationen, som är fundamental betydelse i komplexanalys och algebraisk geometri. Också i detta projekt är det centralt att utveckla en kalkyl för multiplikation av en viss klass av residyströmmar.

Deltagare

Finansiering

Mer information

Skapat