Analys på symmetriska och lokalt symmetriska rum. Representationer av Liegrupper.

Forskningsprojekt, 2013 – 2016

Analys av symmetrier och symmetribrott Sökandet efter symmetrier har varit ett centralt tema inom teoretisk fysik. Det har lett till upptäckten av många elementarpartiklar. Matematiskt formuleras symmetrier med hjälp av begreppet grupp. Kontinuerliga grupper kallas också Liegrupper. Dessa grupper verkar på klassiska variabler som positioner, hastigheter etc. Man studerar sedan verkan av grupper på rummet av kvantmekaniska variabler. I harmonisk analys och representationsteori försöker man hitta och studera Liegruppers verkan. Harmonisk analys är en fortsättning av Fourier serier som utan tvekan kan sägs vara den mest änvända matematiken inom naturvetenskapen. Begreppet symmetriskt rum kan förklaras som en geometrisk mångfald med många symmetrier, och en Liegrupp kan betraktras som transformationer på mångfalden. Enhetscirkeln i det komplexa planet är ett enkelt exempel på ett symmetrikt rum. Alla rotationer bildar då en Liegrupp. Harmonisk analys på enhetscirkeln ges av Fourierserier som i praktikten beskriver en uppdelning av periodiska vågor i enkla harmoniska vågor; dessa enkla vågor bildar fundamentala representationer av rotationsgruppen. I själva verket kan symmetrier vara svåra att upptäcka till ex. i partikelfysik. Man studerar då deras verkan, dvs deras representationer, på tillstånd som är manifestationer av symmetrier. Ett av våra huvudproblem är att studera uppdelningar av representationer av en grupp under en delgrupp. I partikelfysik kallas en sådan uppdelning symmetribrott. (Nobelpriset i fysik år 2008 gick till teorin om symmetribrott.) På enhetsskivan bildar Bergmanrummen (med vikt) av holomorfa funktioner unitära och holomorfa representationer av Möbiusgruppen. Alla representationer av Möbiusgruppen finns som komponenter i tensorprodukterna, dvs man hittar represenationer med hjälp av uppdelningar eller symmetribrott. Vi får därmed också en så kallad kvantisering av representationer som operatorer på holomorfa rum, eftersom tensorprodukten består av Hilbert-Schmidt-operatorer. Kvantisering i fysik innebär att man studerar viss korrespondens mellan klassiska observabler (som positioner och hastighet) och kvantmekaniska motsvarande (som operatorer på tillstånd). Jag studerar uppdelningar av representationer och kvantisering med hjälp av analytiska methoder som integral- och differentialoperatorer. Liegrupper är ett viktigt verktyg att klassifiera olika geometrier, till ex. sfärisk geometri med rotationer som symmetrier, Euklidisk geometri med rotationer och förflyttningar som symmetrier. En viktig klass av Liegrupper är nilpotenta grupper. På dessa grupper finns en degenererad metrik där man kan mäta längder bara i vissa riktningar. Sådan metrik har tillämpning inom regelteknik. Jag studerar värmeledningskärnor på nilpotenta grupper. Ett av de relaterade ämnena som jag studerar är Radontransform på symmetriska rum. Randontransformen för en funktion (som i praktiken beskriver tryck, densiteter eller andra kvantiteter hos en kropp) är integraler av funktionen längs linjer eller plan. Radontransformen har varit och är fortfarande av stort intresse inom medicinska vetenskaper (röntgenteknik) och seismologi. En av huvudfrågorna är att invertera transformen, dvs att bestämma okända tryck- eller densitetfunktioner mha röntgenmätningarna. Radontransform tillhör också det mycket aktiva forskningsfältet om inversproblem. Jag studerar Radontransform med hjälp av harmonisk analys och representationer av Liegrupper.