Algebraisk och kombinatorisk analys av elliptiska gittermodeller

Forskningsprojekt, 2011 – 2013

Algebraisk och kombinatorisk analys av elliptiska gittermodeller Projektet syftar till att undersöka matematik som uppstått ur studiet av vissa lösbara modeller i statistisk mekanik. Det är modeller för partiklar som befinner sig på ett kvadratiskt gitter, dvs ett (ändligt eller oändligt) "schackbräde", och som samverkar med sina grannar enligt vissa regler. Ett enkelt exempel är "trefärgsmodellen" där man kan tänka sig att schackbrädets rutor målas med tre färger, med inskränkningen att varje ruta har en annan färg än sina fyra grannar. Märkligt nog är även så enkla modeller av stort intresse både fysikaliskt och matematiskt. Trefärgsmodellen är ett exempel på en "elliptisk" modell, vilket innebär att den går att lösa med hjälp av elliptiska funktioner. Detta är funktioner som lever på en torus, dvs en yta som liknar en badring. Att modellerna är "lösbara" betyder grovt sagt att vissa fysikaliskt intressanta storheter går att beräkna explicit. Inom fysiken är lösbarhet nära förknippat med symmetri. Ett exempel är Keplers upptäckt att planeterna rör sig i ellipser, vilket stämmer exakt om man enbart betraktar solen och en enda planet. Tar man hänsyn till planeternas inverkan på varandra kan inte planetbanan beskrivas lika enkelt. Anledningen kan sägas vara att de ekvationer som beskriver "tvåkropparproblemet" är mer symmetriska än "n-kropparproblemet". De symmetrier som svarar mot de för projektet intressanta modellerna är så kallade "kvantgrupper". För att få en grov uppfattning om vad en kvantgrupp är kan man tänka på en cirkel, som vi ju uppfattar som en symmetrisk figur. Detta beror på att man kan rotera den utan att dess form ändras. Vi kan rita upp en cirkel i ett vanligt koordinatsystem, med koordinater x och y. Här är x och y vanliga tal, och uppfyller alltså räknelagen xy=yx. Om vi ersätter denna regel med xy=qyx, där q är ett tal, får vi ett "kvantplan" som inte går att åskådliggöra geometriskt, men likväl dyker upp naturligt i många sammanhang. Vissa enkla kvantgrupper kan ses som symmetrier för sådana "kvantrum". De modeller som studeras i projektet ger upphov till mer komplicerade "elliptiska kvantgrupper". I mitt forskningsprojekt kommer jag att utveckla nya redskap för att studera elliptiska kvantgrupper, och använda dessa till att hitta nya lösningar till en ekvation som uppträder i konform fältteori (en gren av den moderna fysiken). Jag kommer att studera vissa speciella funktioner av många variabler, som har samband med elliptiska kvantgrupper men också med kombinatoriska problem och med supersymmetrisk fältteori (en annan gren av den moderna fysiken). Vidare kommer jag att fortsätta mina studier av trefärgsmodellen, och bland annat studera hur den påverkas av vissa randvillkor.

Deltagare

Finansiering

Mer information

Skapat