Komplex analys och konvexitet

Forskningsprojekt, 2013 – 2016

Komplex analys och konvexitet. Komplex analys handlar om en speciell typ av funktioner som kallas holomorfa eller analytiska. De beror av en eller flera komplexa variabler och deras värden är också komplexa. Intresset för denna teori beror dels på att de flesta elementära funktioner, som trigonometriska funktioner, exponentialfunktionen och polynom är holomorfa, dels på att många egenskaper hos ´vanliga´ reella funktioner bara kan förstås om man betraktar dem även för komplexa argument. Dessutom är de flesta av fysikens lagar formulerade i teremer av komplexa funktioner. ända sedan teorins barndom har begreppet konvexitet spelat en stor roll . Konvexitet och konkavitet är också mycket viktigt inom andra delar av matematiken (som t ex sannolikhetsteori och optimering) och det finns i själva verket en hel gren av matematiken - konvex geometri- som handlar om egenskaper hos konvexa mängder och funktioner. Den här ansökan behandlar främst en aspekt av konvexitet, s k Brunn-Minkowskiteori. Brunn-Minkowskis olikhet handlar om volymen av (konvexa) mängder. En viktig del av det här projektet handlar om en komplex motsvarighet till denna olikhet. Det visar sig då att man istället för att betrakta volymen av mängder skall titta på s k L^2-normer av holomorfa funktioner. Det slutliga resultatet formuleras i termer av krökningen av vissa vektorbuntar, men detta allmäna och något abstrakta resultat visar sig ha tillämpningar inom en mängd områden som konvex geometri, Kahlergeometri, algebraisk geometri och interpolationsteori. Några av de problem jag vill angripa med denna metod är krökningen av modulirummet till vissa komplexa mångfalder, entydlighetsproblem i Kahlergeometri, och singulära punkter till fibreringar. En annan del av ansökan handlar om korrespondensen komplex analys - konvexitet i motsatt riktning. Ett fundamentalt verktyg i högredimensionell komplex analys är teorin för slutna positiva strömmar. Denna teori gör det möjligt att betrakta komplexa delmångfalder som analytiska objekt - en sorts differentialformer vars koefficienter är mått. Jag själv och en doktorand till mig (Aron Lagerberg) har introducerat en analogi till dessa objekt över de reella istället för de komplexa talen. Dessa s k ´superströmmar´ gör det möjligt att beskriva vissa objekt som träd, grafer och ´tropiska varieteer´ analytiskt på ett sätt som liknar den komplexa situationen. Jag vill också fortsätta den studien t ex för att studera kristallika strukturer.

Deltagare

Finansiering

Mer information

Senast uppdaterat