Heterogeneous Materials - Diffusion, Laplace Spectrum, and Nuclear Magnetic Resonance
Doktorsavhandling, 2012

In this thesis diffusion in heterogeneous materials is studied using spectral analysis of the Laplace operator. Relations to the effective diffusion constant and the relaxation rate of the time-dependent diffusion coefficient for porous systems are derived from the Laplace operator’s spectrum. The Padé approximation is then explained in terms of the Laplace operator spectrum. The calculations are made in a finite difference scheme with Neumann conditions defining the boundaries and validated by comparison with Brownian motion simulations. Furthermore, a new method to approximately solve the diffusion equation is presented. The method uses a mixture of free diffusion eigenfunctions and surface functions describing the influence of the boundaries. The method is completely formulated on the boundaries and the number of operations scale as O(s^2) for s number of boundary points. The result is an approximation to the first low frequency eigenfunctions and eigenvalues to the Laplace operator in bounded domains. The method is applied on diffusion NMR in the SGP-limit and also extended beyond the SGP-limit to cover general gradient forms and pulse sequences. Finally, an iterative scheme to find exact eigenvalues and eigenfunctions to the Laplace operator in bounded domains by surface integrals is presented with a theoretical O(s log(s)) scaling.

eigenfunctions

eigenvalues

propagator

diffusion

Laplace operator

Nuclear Magnetic Resonance

KA, Kemigården, Chalmers, Göteborg
Opponent: Prof. Bill Price, University of Western Sydney, Australia.

Författare

Matias Nordin

Chalmers, Kemi- och bioteknik, Teknisk ytkemi

A mixed basis approach in the SGP-limit

Journal of Magnetic Resonance,; Vol. 212(2011)p. 274-279

Artikel i vetenskaplig tidskrift

Deriving time-dependent diffusion and relaxation rate in porous systems using eigenfunctions of the Laplace operator

Journal of Magnetic Resonance,; Vol. 201(2009)p. 205-211

Artikel i vetenskaplig tidskrift

Studiet av hur vätskor och gaser rör sig genom porösa material är ett stort område som engagerar forskare från många olika discipliner. En av de främsta principerna för vätskors och gasers rörelser kallas diffusion och är den slumpmässiga egenrörelse hos partiklar som uppstår på grund av deras termiska energi. Med hjälp av ett fysikaliskt fenomen som kallas kärnmagnetisk resonans (NMR) kan man mäta diffusion av vätskor och gaser i porösa material. Ett exempel är de så kallade magnetröntgenkameror där man mäter just diffusion i till exempel en patients vävnader. Det är dock inte alltid så enkelt att tyda och förstå de experimentella signaler man får med hjälp av NMR. En av de fundamentala orsakerna till detta är att materialen ofta är heterogena i sin natur. Idag används ofta förenklade modeller och numeriska metoder för att försöka förstå orsakerna till de experimentella signalerna. Den här avhandlingen studerar de ekvationer som beskriver diffusion med hjälp av Laplaceoperatorns egenspektrum, för att försöka förstå hur diffusion påverkas av den begränsande geometri som heterogena porösa material ger upphov till. En ny metod för att lösa diffusionsekvationen presenteras. Vidare studeras Bloch-Torrey ekvationerna och en ny effektiv metod för att lösa dessa presenteras. Dessa resultat kan bidra till att öka förståelsen för diffusionsexperiment med hjälp av NMR samt vidareutvecklas till att ge ett praktiskt numeriskt redskap för att lösa och analysera diffusionsekvationen.

In this thesis diffusion in heterogeneous materials is studied using spectral analysis of the Laplace operator. Relations to the effective diffusion constant and the relaxation rate of the time-dependent diffusion coefficient for porous systems are derived from the Laplace operator’s spectrum. The Padé approximation is then explained in terms of the Laplace operator spectrum. The calculations are made in a finite difference scheme with Neumann conditions defining the boundaries and validated by comparison with Brownian motion simulations. Furthermore, a new method to approximately solve the diffusion equation is presented. The method uses a mixture of free diffusion eigenfunctions and surface functions describing the influence of the boundaries. The method is completely formulated on the boundaries and the number of operations scale as O(s^2) for s number of boundary points. The result is an approximation to the first low frequency eigenfunctions and eigenvalues to the Laplace operator in bounded domains. The method is applied on diffusion NMR in the SGP-limit and also extended beyond the SGP-limit to cover general gradient forms and pulse sequences. Finally, an iterative scheme to find exact eigenvalues and eigenfunctions to the Laplace operator in bounded domains by surface integrals is presented with a theoretical O(s log(s)) scaling.

Ämneskategorier

Fysikalisk kemi

Annan fysik

Styrkeområden

Materialvetenskap

ISBN

978-91-7385-783-3

Doktorsavhandlingar vid Chalmers tekniska högskola. Ny serie

KA, Kemigården, Chalmers, Göteborg

Opponent: Prof. Bill Price, University of Western Sydney, Australia.