Långväga beroende inom punktprocesser av aritmetiskt ursprung

Forskningsprojekt, 2024 – 2027

Punktprocesser är slumpmässiga hopningar av punkter i en rymd som kan vara antingen platt eller krökt. Detta forskningsprojekt undersöker olika metoder för att avgöra hur de olika punkterna i hopningen beror av varandra, och hur detta beroende påverkas av eventuell krökning avrymden. Det platta fallet är väl undersökt, men punktprocesser i krökta rum tarvar fler studier. För att kunna mäta grader av beroende så kan det vara hjälpsamt att utse två extremer bland alla punktprocesser, och därefter försöka kalibrera mellan dessa extremer. Den mest kaotiska punktprocessen är uppkallad efter matematikern Simeon Poisson. För en Poisson-hopning av punkter finns det inga beroende i överhuvudtaget mellan punkterna. Den andra extremen är periodiska processer, där alla punkter ligger snyggt uppradade i pärlband, utan skavanker. Det finns även en lite stökigare klass av processer som går under namnet kvasikristallina processer. Dessa punkthopningar beter sig i mångt och mycket som periodiska punkthopningar, men vissa skavanker smyger sig in på (nästan) regelbundna platser. En av frågorna i detta projekt är hur man bäst kalibrerar kvasikristallina processer på skalan mellan periodiska och Poisson. I förstone så kanske man vill placera dem väldigt nära periodiska processer, men det har visat sig att vissa måttstockar ger konstiga utslag för kvasikristallina processer och placerar dem snarare mer åt Poisson-hållet. Situationen blir ännu knivigare om man beslutar sig för att kröka rummet. Då uppstår nya fenomen, och en stor del av projektet handlar om att undersöka några av dessa fenomen.