Generaliserade Euler-ekvationer: teori, numerik och medicinsk bildregistrering

Forskningsprojekt, 2012 – 2015

För cirka 250 år sedan härledde Leonard Euler en model för en vätska i rörelse. Modellen, som står sig än idag, grundar sig ytterst på Newtons lagar. Matematiskt beskrivs den av en uppsättning differentialekvationer, som idag benämns "Euler-ekvationerna". Långt senare, år 1966, gjordes en anmärkningsvärd upptäckt av matematikern Vladimir Arnold. Han insåg att Euler-ekvationerna också beskriver så kallade geodesier på den matematiska mängden av volymsbevarande transformationer. Dessa geodesier anger det mest optimala sättet att kontinuerligt transformera ett objekt, i det här fallet en vätska, från en konfiguration till en annan. Det geniala i Arnolds upptäckt är att den förenar en mängd kända differentialekvationer under samma ramverk. Idag benämns de "generaliserade Euler-ekvationer". Sådana ekvationer innehar en mängd konserveringslagar. Traditionellt så beskriver generaliserade Euler ekvationer modeller inom fysik, t.ex. rörelsen av en fri stel kropp, rörelsen av en vätska, dynamiken av elektromagnetiska fält, och rörelsen av grundvattenvågor. Under de senaste åren så har även en ny tillämpning av generaliserade Euler-ekvationer vuxit fram, nämligen bildregistrering. Idén är att använda Arnolds ramverk för att hitta den "mest optimala" transformationen som deformerar en given bild tills den överensstämmer med en referensbild. Inom medicinsk bildbehandling är detta av stort intresse, då det finns potential att använda tekniken på magnetröntgenbilder, som ett hjälpmedel för att diagnostisera hjärnsjukdomar. Med några få undantag är det inte möjligt att explicit finna exakta lösningar till differentialekvationerna. Istället används datoralgoritmer för att räkna ut approximativa lösningar, vilket kallas "numerisk integrering". Det är viktigt att algoritmerna ger ett tillförlitligt resultat - att noggrannheten är hög. Samtidigt är det viktigt att hålla nere beräkningstiden - att effektiviteten är hög. Arbetet med generaliserade Euler-ekvationer är i dagsläget mestadels fokuserat på att härleda differentialekvationerna (för olika transformationsklasser, samt för olika typer av så kallade "metriker"), samt att förstå olika typer av konserveringslagar (som t.ex. konservering av den totala rörelsemängden i fallet av de klassiska Euler-ekvationerna). Detta forskningsprojektet handlar om att utveckla datoralgoritmer för numerisk integrering av generaliserade Euler-ekvationer. Speciellt fokus ligger på den nya medicinska tillämpningen: de utvecklade numeriska metoderna kommer att testas på verkliga magnetröntgenbilder. Projektet innefattar även matematisk analys av utvecklade algoritmer, så kallad "konvergensanalys", för att säkerställa robusthet och tillförlitlighet. Projektet bedrivs i samarbete mellan Chalmers Tekniska Universitet och University of Toronto i Kanada. Chalmers bidrar med expertis inom numeriska metoder för differentialekvationer. Toronto bidrar med expertis inom generaliserade Euler-ekvationer, samt inom medicinsk bildbehandling.

Deltagare

Finansiering

Mer information

Skapat