Asymptotik för lösningar till diofantiska ekvationer

Forskningsprojekt, 2011 – 2013

Diofantiska ekvationer med oändligt många lösningar Mitt projekt handlar om diofantiska ekvationer, som är polynomekvationer i flera variabler där endast heltalslösningar är tillåtna. Ett exempel är ekvationen x^2+y^2=z^2 , som bl.a. har lösningarna (x,y,z)=(3,4,5) och (5,12,13). Diofantos var en grekisk matematiker verksam i Alexandria i antikens slutskede. Hans huvudarbete är Arithmetika. Det bestod ursprungligen av tretton böcker varav sex bevarats. Ytterligare fyra har senare återfunnits i arabiska översättningar. Liksom mycket annat i det antika kulturarvet glömdes Diofantos arbeten bort under romar- och medeltiden och det var först 1570 som Arithmetika översattes till latin av Bombelli. Men denna översttning publicerades inte utan Bombelli införlivade istället flera av Diofantos problem i sin egen bok Algebra. Det var därför först genom Bachets översättning till latin 1621 som Diofantos verk blev allmänt tillgängliga och den franske matematikern Fermat (1601-1665) ägde ett exemplar av denna. Men diofantiska ekvationer utvecklades också helt oberoende av Diofantos i Indien och det finns indiska texter med diofantiska ekvationer som är äldre än Aritmetika. Den mest imponerande av de tidiga indiska matematikerna, Brahmagupta, levde dock efter Diofantos. Han löste 628 löste den svåra diofantiska ekvationen 61x^2+1=y^2 som är ett specialfall av den s.k. Pells ekvation. Hans methoder förblev dock okända i väst och det var inte förrän 1657 som Fermat formulerade denna ekvation utan att kunna lösa den. Det gjordes först av Euler under 1700-talet mer än tusen år efter Brahmagupta. Den mest kända diofantiska ekvationen är dock Fermats ekvation x^n+y^n=z^n. Han skrev i marginalen av sitt exemplar av Arithmetika att han hade ett underbart bevis för att denna saknade lösningar i positiva heltal för n>2, men att han inte hade plats i marginalen för att skriva ut sitt bevis. Men ingen annan matematiker lyckades under mer än 300 år bevisa detta. Det var först 1994 som den engelske matematikern och Princetonprofessorn Andre Wiles lyckades visa detta. Han adlades för detta och han är idag världens mest berömde matematiker. Man kan också generalisera Fermats ekvation och fråga i vilken utsträckning heltal kan skrivas som en summa av s positiva k-te potenser på mer än ett sätt. Detta leder för s=2 till ekvationen x^k+y^k=v^k+w^k och för s=3 till ekvationen x^k+y^k+z^k=u^k+v^k+w^k. Dessa ekvationer har förstås triviala lösningar där variablerna till höger är omkastningar av dem till vänster. Så det intressanta är i vilken utsträckning det finns andra icke-triviala lösningar. Sådana finns nämligen. T.ex. kan talet 1729 skrivas som en summa av två tredjepotenser på två sätt då 1000+729=1728+1 och det finns så gott som alltid då s>1 oändligt många icke-triviala lösningar. Jag har i min VR-finansierade forskning under 00-talet bl.a. studerat tätheten av sådana lösningar. Med detta menas att man för fixa värden av s och k räknar antalet lika summor f(B) av s k-te potenser av positiva heltal ej överstigande B där man uteslutit de triviala lösningarna. Man är sedan intresserad av de asymptotiska egenskaperna för f(B) när B växer och blir godtyckligt stort. En intressant fråga för summor av tre k-te potenser är då t.ex. om antalet icke-triviala lösningar är färre än antalet triviala lösningar för stora B. Jag har visat att så är fallet om k>24. Man har traditionellt erhållit övre gränser för f(B) med rent analytiska metoder som Hardy-Littlewood-Vinogradovs cirkelmetod som bygger på att man uppskattar integraler för vissa trigonometriska summor. Dessa uppskattningar har sedan varit värdefulla i studiet av Warings problem som är frågan huruvida varje tillräckligt stort positivt heltal kan skrivas som summan av s k-te potenser. Sedan 7-8 år finns dock en ny mer algebraisk metod att erhålla övre gränser för antalet lösningar till diofantiska ekvationer där man betraktar vissa determinanter. Metoden har dock inget med lineär algebra att göra utan är snarare en subtil blandning av aritmetik och algebraisk geometri. Den infördes av Bombieri-Pila och har sedan under 00-talet utvecklats av Heath-Brown och mig själv. Avsikten med mitt forskningsprogram är att gå vidare och söka nya tillämpningar av determinantmetoden i samarbete med ledande engelska analytiska talteoretiker. Jag vill därvid särskilt nämna mitt pågående samarbete med Wooley i vilket vi kombinerar de nya metoderna med äldre analytiska metoder.

Deltagare

Finansiering

Mer information

Senast uppdaterat