Komplex geometri i jämvikt

Forskningsprojekt, 2012 – 2015

Från sampling av musik till Einsteins ekvationer för rum-tidens krökning Kan det finnas några kopplingar mellan problemet att på ett troget vis återskapa ljudet av en pianokonsert digitalt och att lösa Einsteins ekvationerns för hur det tomma rummet är krökt? Svaret på denna retoriska fråga är Ja! och är en av utgångspunkterna för detta projekt. Låt oss börja vid pianot. Säg att man vill återskapa en signal, som t ex representerar pianokonserten, genom att sampla dess värden vid ett antal tillfällen, s k noder. Ju högre frekvens signalen har desto mer detaljerad är den och desto fler noder krävs för att beskriva den. Hur ska de då väljas för att få optimal återskapning om man vill minimera effekten av mätfel? För en periodisk signal har svaret varit känt länge. I andra liknande problem uppträder mer komplicerade geometrier än i det periodiska fallet, där signalens roll kan spelas av t ex ett sfärlikt membrans svängningar. Problemet i allmänna geometrier formularades redan på 50-talet och ledde så småningom till en precis matematisk förmodan på 80-talet. Det här projektet tar sitt avstamp i lösningen av detta problem, som löstes i ett tidigare projekt tillsammans med en forskare i Paris. Ett av huvudmålen i detta nya projekt är att använda relaterade metoder för att lösa Einsteins ekvationer på speciella former som kallas komplexa (Kähler) mångfalder. Dessa lösningar kallas Kähler-Einstein metriker. Einstein introducerade sina ekvationer för att beskriva gravitation via rum-tidens krökning, men huvudmotivationen för detta projekt kommer framför allt från aktuella forskningsproblem inom matematik (komplex differential och algebraisk geometri) där dessa ekvationer också uppträder. Geometriskt kan man föreställa sig problemet som frågan hur en given geometrisk form kan deformeras så att formen blir "optimal" i bemärkelsen att den har en konstant krökning. Som ett konkret exempel kan man tänka sig att man börjar med en bucklig badboll och försöker släta ut bucklorna tills bollen blir helt rund - den runda bollen kan då ses som en lösning till Einsteins ekvation! En kraftfull metod, för att lösa Einsteins ekvationer, där det skett spektakulära framsteg de senaste åren använder det så kallade Ricci flödet (framstegen ledde bl a tack vare G.Perelman till lösningen av Poincarés förmodan som formulerades för nästan 100 år sedan). Flödet talar om precis hur den givna formen skall deformeras för att slutligen få en konstant krökning. Detta projekt avser bl a att introducera en alternativ metod som ger en slags slumpgenerator som slumpar fram former på att sådant vis att de nästan säkert blir konstant krökta. Mer precist, så slumpar metoden fram konfigurationer av fler och fler punkter ("partiklar"), som man kan föreställa sig som krystalllinkande molekylstrukturer. Ett av målen med projektet är att bevisa att den sökta formen (dvs lösningen av Einsteins ekvationer) framträder makroskopiskt ur denne mikroskopiska "molekylmodell" när fler och fler partiklar slumpas fram. Liknande metoder har tidigare använts för att försöka förstå hur turbulens i en vätska uppträder som ett statistiskt/kollektivt fenom i stora samlingar av partiklar, men kopplingen till Einsteins ekvationer är ny och kräver helt nya metoder. Men vad är då det utlovade sambandet mellan problemet att hitta optimala samplingsnoder och att lösa Einsteins ekvationer? Nyckeln är att tänka sig de optimala samplingsnoderna som konfigurationer (liksom de moleliknande stukturerna ovan) som minimerar en slags energi. Även för en dator är det extremt tidskrävande att hitta sådana konfigurationer, men genom att använda idéer från statistisk fysik kan man idag låta datorn förhållandevis snabbt slumpa fram konfigurationer som liknar optimala noder (t ex via den sk Monte Carlo-metoden). På ett devlis liknande vis avser alltså det här projektet att "slumpa fram" optimala former, som beskriver lösningar till Einsteins ekvationer. Huvudmålet för projektet är att kasta ett nytt ljus över en den så kallade Yau-Tian-Donaldson förmodan som spelar en central roll i komplex differential geometri. Projektet anknyter också till ett nytt program av S.Donaldson för att angripa denna förmodan. I det långa loppet kan projektet leda till nya sätt att numeriskt lösa icke-linjära differentialekvationer.

Deltagare

Finansiering

Mer information

Senast uppdaterat