Adaptive Finite Element Methods for Optimal Control Problems
Doktorsavhandling, 2011

In this thesis we study the numerical solution of optimal control problems. The problems considered consist of a system of differential equations, the state equations, which are governed by a control variable. The goal is to determine the states and controls which minimize a given cost functional. The numerical method in this work is based on an indirect approach, which means that necessary conditions for optimality are first derived and then solved numerically, in our case by a finite element method. The optimality conditions are derived using Lagrange's method in the calculus of variations resulting in a boundary value problem for a system of differential/algebraic equations. These equations are discretized by a finite element method. The advantage of the finite element method is the possibility to use functional analysis to derive error estimates and in this work this is used to prove computable a posteriori error estimates. The error estimates are derived in the framework of dual weighted residuals which is well suited for optimal control problems since it is formulated within the Lagrange framework. Using an indirect method combined with an a posteriori error estimate makes it possible to implement adaptive finite element methods where the refinement of the computational mesh is automated. We have implemented such adaptive finite element methods for quadratic/linear optimal control problems, fully nonlinear problems, and for problems with inequality constraints on controls and states.

dual weighted residual

optimal control

Newton method

variational inequality

discontinuous Galerkin method

adaptive

vehicle dynamics.

a posteriori error estimate

control constraint

multilevel algorithm

finite element method

Euler
Opponent: B Tomas Johansson

Författare

Karin Kraft

Chalmers, Matematiska vetenskaper, Matematik

Göteborgs universitet

En bil kör på en väg. När ett hinder dyker upp mitt i vägen. Föraren kan bromsa eller styra bilen för att undvika att krocka. Man vill även minimera sluthastigheten så att skadorna blir så lindriga som möjligt ifall en krock inte kan undvikas. Manövern ovan är ett exempel på ett optimalt styrningsproblem. Signalerna som föraren skickar till bilen kallas kontroller och bilens hastighet och läge kallas tillstånd. Man vill bestämma de kontroller och tillhörande tillstånd som minimerar en storhet, här sluthastigheten. Vi har utvecklat en metod för att bestämma numeriska lösningar till optimala styrningsproblem. Metoden baseras på finita elementmetoden, där tidsintervallet delas in i mindre intervall och man antar att lösningen är linjär på intervallen. Detta stämmer där den är linjär men inte annars. Då måste man dela in tidsintervallet i kortare intervall för att den linjära gissningen ska ligga nära den exakta lösningen. Eftersom varje extra intervall ökar beräkningstiden vill man använda så få intervall som möjligt. Det gäller då att ha korta intervall när styrningen förändras snabbt och längre intervall när styrningen inte förändras. Vi har härlett feluppskattningar så att man kan beräkna när styrningen förändras snabbt och den numeriska lösningen därför skiljer sig från den riktiga lösningen. Vi kan därefter göra en finare indelning vid dessa tidpunkter och på detta sätt hålla ner antalet intervall samtidigt som vi får en bra lösning.

Styrkeområden

Transport

Ämneskategorier

Beräkningsmatematik

Fundament

Grundläggande vetenskaper

ISBN

978-91-7385-494-811

Doktorsavhandlingar vid Chalmers tekniska högskola. Ny serie: 3175

Euler

Opponent: B Tomas Johansson