Fourierkoefficienter för Siegel-modulära former av blockdiagonalt index

Forskningsprojekt, 2024 – 2027

Hur kan man organisera information och data inom matematisk forskning? En populär och framgångsrik metod är att införa parametrar och studera flera objekt samtidigt. Ett verktyg i denna kontext är genererande serier, som är konstruerade från tal som man kallar deras koefficienter. Ju mer exakt vi kan beskriva en genererande serie desto mer vet vi om dess koefficienter. Ett mycket enkelt exempel är serien 4,7,4,7,4,... för vilken man kan gissa att den är 2-periodiskt och då förutse alla kommande koefficienter.I tillämpningar kan det vara svårt att härleda något om sådan series koefficienter. Så är fallet om en genererande serie är en modulär form. Under de senaste decennierna har man funnit att flera viktiga genererande serier är modulära former av den enklaste sorten. Dessa har ända till idag haft betydelse för så vitt skilda vetenskapliga områden som matematisk fysik, kombinatorik, geometri, och talteori. Under de senaste åren upphittades genererande serier som är mer komplicerade hittas, så kallade Siegel-modulära former.Konfronterad med så många nya exempel blir det omedelbart relevant att förstå koefficienter av Siegel modulära former, men även ganska elementära egenskaper hos dessa kan fortfarande inte härledas. Huvudmålet för detta projekt är att bevisa att vissa av deras koefficienter, de vars index är diagonalt, inte alltid kan vara noll.Projektet syftar även till att använda detta resultat på ett sätt som har varit framgångsrikt i många andra fall. För att analysera vissa geometriska objekt, som har studerats under de senaste 30 åren och som stod ut i projektledarens tidigare forskning associerar man till dem en invariant, dvs ett nyckelvärde, som är icke-noll om en viss subtil egenskap är gäller. Om den korresponderande genererande serien bildar en Siegel-modulär form, och det gör den enligt tidigare resultat, kan man använda projektens huvudresultat för att härleda denna egenskap.