Geometriska numeriska metoder för beräkningsanatomi

Forskningsprojekt, 2018 – 2021

Beräkningsanatomi är en ny forskningsgren inom matematiken som syftar till att skapa modeller och tekniker som kan användas för att jämföra tredimensionella bilder av till exempel inre organ i kroppen. Låt oss säga att en läkare vill göra en noggrann undersökning av en patients hjärta utan att behöva operera. Med moderna magnetkameror kan man enkelt ta tredimensionella bilder av hjärtat. Problemet för läkaren är nu att en sådan bild är svår att tyda, speciellt om man är intresserad av detaljerna. Istället för att tyda bilden enskilt är det enklare att jämföra den med en liknade bild av ett hjärta som läkaren vet är fullt friskt. Det är här beräkningsanatomin kommer in. För hur jämför man tredimensionella bilder av hjärtan från olika patienter? Storleken och formen på de båda hjärtana kan vara helt olika, trots att båda patienterna är fullt friska. Vad beräkningsanatomin gör är att hitta en matematisk transformation som deformerar den undersökta patientens magnetkamerabild av hjärtat (källbilden) så att dess huvudsakliga drag överlappar med bilden av det friska hjärtat (referensbilden). Därvid kan läkaren utgå från referensbilden, som han eller hon väl känner till, och verifiera att detaljerna hos den undersökta patientens hjärta ser ut som de ska. Vi är inte där ännu, men att effektivt kunna lösa den här typen av problem är ett av syftena med beräkningsanatomi. Det finns även andra tillämpningar, inom medicin och vitt skilda områden.

Det som gör beräkningsanatomin fascinerande är att den matematiska teorin man använder för att beskriva transformationerna är densamma som teorin för att hitta kurvor av minimal längd mellan punkter på krökta ytor, så kallade \emph{geodeter} i den Riemannska geometrin. Det finns också en stark koppling till strömningsmekanik, eftersom även strömningsekvationerna för en ickeviskös vätska har en tolkning som geodetekvationer på en oändligtdimensionell, krökt yta.

I detta projekt använder vi den starka kopplingen till Riemannsk geometri och strömningsmekanik för att utveckla stabila och tillförlitliga metoder för beräkningsanatomi. Tillvägagångssättet är att kombinera världsledande teknik utvecklad vid Chalmers Tekniska Högskola för att lösa strömningsekvationer, med de underliggande geometriska konserveringslagarna hos geodetekvationer.