Approximation och simulering av Lévy-drivna SPDE

Värmeledning, vågutbredning, utveckling av finansiella derivat, och tillståndet i komplexa system är exempel på företeelser som kan beskrivas med partiella differentialekvationer som skulle kunna störas av brus. Det största problemet med dessa stokastiska ekvationer är att de inte kan lösas explicit, så att approximativa lösningsmetoder är nödvändiga. Det huvudsakliga syftet med detta projekt ar att besvara frågeställningar som uppkommer när lösningar av stokastiska partiella differentialekvationer simuleras på en dator. Det kommer att vara av särskilt intresse hur brus som inte är kontinuerligt i tiden påverkar resultatet, vilket knappast har studerats tidigare. Hittills har den mesta forskningen ägnats åt gaussiskt brus som är kontinuerlig i tiden. För att få en uppfattning om de problem som uppstår, kommer vi att titta på exemplet med värmeledningsekvationen som beskriver spridningen av värme i ett visst område, t.ex. i en bit metall, i havet, eller i en datorprocessor. Vi vill beräkna temperaturen över tiden i ett objekt med en viss initial temperatur och som störs av brus. Då kan vi först konstatera att vi inte kan beräkna värdena vid alla tider och platser, eftersom detta skulle inkludera oändligt många tal, som en dator varken kan beräkna i ändlig tid eller lagra i ändligt minne. Därför måste vi diskretisera objektet och tiden, till exempel, använder vi ett rutnät i tid och rum. En fråga som kommer direkt i åtanke är kvaliteten på approximationen. Detta görs matematiskt genom att studera konvergens. Detta innebär att användning av fler och fler punkter och därmed finare nät kommer att leda till mindre fel i den beräknade lösningen. Eftersom vårt problem inkluderar brus, måste man ange vilken kvantitet man vill beräkna och ett lämpligt mått på felet. En möjlig kvantitet att beräkna är en lösningsbana, dvs för ett givet brus beräknar man lösningen till ekvationen. Typiska problem som uppstår i samband med sådana så kallade starka lösningar är ackumulation av fel och hur detta påverkar konvergensen. Vi kommer att arbeta med detta och utveckla metoder för att minimera ackumulation av fel. Ofta vill man i stället beräkna medelvärden över alla möjliga brus. Detta görs traditionellt med Monte Carlometoder. Dessa kräver mycket tidskrävande beräkningar. En ny metod ger snabbare beräkning genom att kombinera Monte Carlo med den numerisk approximationen på ett effektivt sätt. Projektet kommer att analysera de statistiska egenskaperna hos denna metod. Dessutom kan man få snabbare beräkningar genom snabbare generering av brus och genom förbättrade teoretiska resultat om konvergens av approximation av medelvärden. Dessa två problem studeras också i projektet. Sammanfattningsvis angriper projektet problem som är i skärningspunkten mellan numerik, stokastik och statistik. Utvecklingen kommer göra stokastiska partiella differentialekvationer användbara för praktiker och driva numerisk analys av stokastiska partiella differentialekvationer i riktning mot tillämpningar.

Deltagare

Annika Lang (kontakt)

Docent vid Chalmers, Matematiska vetenskaper, Tillämpad matematik och statistik

Adam Andersson

Forskare vid Chalmers, Matematiska vetenskaper, Tillämpad matematik och statistik

David Bolin

Universitetslektor vid Chalmers, Matematiska vetenskaper, Tillämpad matematik och statistik

Stig Larsson

Professor vid Chalmers, Matematiska vetenskaper, Tillämpad matematik och statistik

Andreas Petersson

Doktorand vid Chalmers, Matematiska vetenskaper, Tillämpad matematik och statistik

Samarbetspartners

Johannes Kepler Universität Linz (JKU)

Linz, Austria

Technische Universität Berlin

Berlin, Germany

Finansiering

Vetenskapsrådet (VR)

Finansierar Chalmers deltagande under 2015–2018

Mer information

Projektet på Chalmers webb

http://www.chalmers.se/en/projects/Pages/A...

Senast uppdaterat

2015-09-11